Con la moglie AntoniaNasce a Cittiglio il 28 gennaio nel 1908, da Giovanni e Vincenzina Fons, di origini francesi. Fino ai 17 anni vive a Ligurno di Cantello. Luigi frequenta il liceo classico di Varese e nel 1925 la famiglia si trasferisce a Milano dove il giovane passa al liceo artistico. In seguito, all'Accademia di Brera è allievo di Adolfo Wildt. La sua attività professionale si svolge da allora per lo più a Milano nello studio aperto dal 1930 in corso Garibaldi al numero civico 89. La vittoria del Premio Tantardini nel 1931 gli permette di visitare Roma e di entrare in contatto con la Scuola Romana. La sua attività espositiva comincia a metà degli anni Trenta, presso la galleria Il Milione, successivamente frequenta il gruppo di Corrente. Nel 1940 esce la prima monografia per le Edizioni del Milione a cura di Alfonso Gatto e si sposa con Antonia Barbieri.
Antifascista, viene arrestato a Ligurno nel 1941 e incarcerato ai Miogni di Varese; l'onorificenza conferitogli nel 1942 da Bottai, il Premio del Ministero dell'Educazione nazionale, peraltro non accettato per protesta, concorre alla sua scarcerazione. Nel 1943 i bombardamenti colpiscono il suo studio milanese distruggendo molto del suo lavoro precedente.
Ma la sua attività prosegue: è presente in importanti esposizioni collettive a New York e Losanna nel 1947, a Zurigo nel 1952, ad Atene nel 1953, e di seguito a Londra, Amsterdam, Stoccolma , Tokyo, Dallas, Parigi, Lisbona, Hannover, Montevideo, Rio De Janeiro, Berlino, Atene.
In Italia, nel dopoguerra la sua scultura ed anche la sua ceramica, sono riconosciute come una forte, matura esperienza nutrita della tradizione tardoottocentesca ma aggiornata di ritmi ed esperienze più moderne. E dopo le frequenti partecipazioni alle mostre sindacali del ventennio, a partire dagli anni Cinquanta espone due volte alla Biennale di Venezia, alla Triennale dell'Incisione, alla Permanente di Milano ed è invitato alla rassegna Scultori contemporanei a Milano a Palazzo Reale nel 1971.
In un isolamento creativo sempre più marcato, in cui spicca una produzione grafica di grande raffinatezza e intensità, Broggini si dedica anche alla poesia: nel 1956 pubblica il volume Due cipolline verdi, nel 1973 Sparsi come nei fiori e nel 1982 In fondo al Corso. Ultimo a lasciare, tra i tanti artisti, lo stabile di Corso Garibaldi, muore a Milano il 27 gennaio del 1983, è sepolto a Ligurno di Cantello dove per tutta la vita ha sempre fatto ritorno in diversi periodi dell'anno.
